10. y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1

Решение:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Характеристическое уравнение: \( r + 1 = 0 \).

Корень: \( r = -1 \).

Общее решение: \( y(x) = C e^{-x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = -C e^{-x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C e^0 = C = 1 \)
\( y'(0) = -C e^0 = -C = -1 \>

Из обоих условий получаем \( C = 1 \).

Частное решение: \( y(x) = e^{-x} \).

Ответ: \( y(x) = e^{-x} \).