8. y" + 3y' + 2y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 3r + 2 = 0 \).

Корни уравнения: \( (r+1)(r+2) = 0 \), значит \( r_1 = -1 \) и \( r_2 = -2 \).

Общее решение: \( y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = -C_1 e^{-x} - 2C_2 e^{-2x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C_1 + C_2 = 0 \)
\( y'(0) = -C_1 - 2C_2 = 0 \>

Решим систему уравнений:
Из первого уравнения: \( C_1 = -C_2 \).
Подставим во второе: \( -(-C_2) - 2C_2 = 0 \) → \( C_2 - 2C_2 = 0 \) → \( -C_2 = 0 \) → \( C_2 = 0 \).
Тогда \( C_1 = 0 \).

Частное решение: \( y(x) = 0 e^{-x} + 0 e^{-2x} = 0 \).

Ответ: \( y(x) = 0 \).