7. y" - 6y' + 9y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 6r + 9 = 0 \).

Это полный квадрат: \( (r-3)^2 = 0 \).

Корень: \( r = 3 \) (кратности 2).

Общее решение: \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = C_2 e^{3x} + 3(C_1 + C_2 x) e^{3x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = (C_1 + 0) e^0 = C_1 = 1 \)
\( y'(0) = C_2 e^0 + 3(C_1 + 0) e^0 = C_2 + 3C_1 = 1 \>

Подставим \( C_1 = 1 \) во второе уравнение: \( C_2 + 3(1) = 1 \) → \( C_2 + 3 = 1 \) → \( C_2 = -2 \).

Частное решение: \( y(x) = (1 - 2x) e^{3x} \).

Ответ: \( y(x) = (1 - 2x) e^{3x} \).