3. y" + 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 3

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 9 = 0 \).
Корни: \( r^2 = -9 \) → \( r = \sqrt{-9} = 3i \).

В этом случае \( \alpha = 0 \) и \( \beta = 3 \).

Общее решение: \( y(x) = e^{0x} (C_1 3x + C_2 3x) = C_1 3x + C_2 3x \).

Найдём производную: \( y'(x) = 3C_1 3x - 3C_2 3x \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C_1 0 + C_2 0 = C_1 = 0 \)
\( y'(0) = 3C_1 0 - 3C_2 0 = -3C_2 = 3 \) → \( C_2 = -1 \).

Частное решение: \( y(x) = 0 3x - 1 3x = - 3x \).

Ответ: \( y(x) = - 3x \).