6. y" + 2y' + 5y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 2r + 5 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = 2^2 - 4 1 5 = 4 - 20 = -16 \).

Корни: \( r = \frac{-2 \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 4i}{2} = -1 i \).

Здесь \( \alpha = -1 \) и \( \beta = 1 \).

Общее решение: \( y(x) = e^{-x} (C_1 x + C_2 x) \).

Найдём производную: \( y'(x) = -e^{-x} (C_1 x + C_2 x) + e^{-x} (C_1 - C_2 x) \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = e^0 (C_1 0 + C_2 0) = C_2 = 2 \)
\( y'(0) = -e^0 (C_1 0 + C_2 0) + e^0 (C_1 - C_2 0) = -C_2 + C_1 = 0 \>

Подставим \( C_2 = 2 \) во второе уравнение: \( -2 + C_1 = 0 \) → \( C_1 = 2 \).

Частное решение: \( y(x) = e^{-x} (2 x + 2 x) = 2e^{-x} ( x + x) \).

Ответ: \( y(x) = 2e^{-x} ( x + x) \).