5. y" - y' - 2y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - r - 2 = 0 \).

Корни уравнения: \( (r-2)(r+1) = 0 \), значит \( r_1 = 2 \) и \( r_2 = -1 \).

Общее решение: \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = 2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C_1 + C_2 = 0 \)
\( y'(0) = 2C_1 - C_2 = 1 \>

Решим систему уравнений:
Из первого уравнения: \( C_2 = -C_1 \).
Подставим во второе: \( 2C_1 - (-C_1) = 1 \) → \( 3C_1 = 1 \) → \( C_1 = \frac{1}{3} \).
Тогда \( C_2 = -\frac{1}{3} \).

Частное решение: \( y(x) = \frac{1}{3} e^{2x} - \frac{1}{3} e^{-x} \).

Ответ: \( y(x) = \frac{1}{3} e^{2x} - \frac{1}{3} e^{-x} \).