10. Знайдіть два різних натуральних числа a і b, для яких √a + √b = √128. Додаткове питання: знайдіть усі такі пари (вважаючи, що пари, які відрізняються лише порядком чисел, однакові).

Оскільки √128 = 8√2, маємо √a + √b = 8√2. Для натуральних a і b це можливо, коли a = 2m² і b = 2n² для натуральних m і n. Тоді m + n = 8.

Натуральні доданки, різні між собою, що дають 8: 1 і 7; 2 і 6; 3 і 5. Відповідні пари чисел:

• m = 1, n = 7: (a, b) = (2, 98), оскільки √2 + √98 = √2 + 7√2 = 8√2;
• m = 2, n = 6: (a, b) = (8, 72), оскільки √8 + √72 = 2√2 + 6√2 = 8√2;
• m = 3, n = 5: (a, b) = (18, 50), оскільки √18 + √50 = 3√2 + 5√2 = 8√2.

Відповідь: усі пари без урахування порядку — (2, 98), (8, 72), (18, 50).