100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если: 1) ∠A = 64°, ∠B = 116°; 2) ∠B = 82°, ∠D = 108°?

Решение:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.

• 1) ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°. Нам даны ∠A = 64° и ∠B = 116°. Сумма этих углов равна 64° + 116° = 180°. Однако, это не гарантирует, что противоположные углы будут давать в сумме 180°. Для вписанного четырёхугольника необходимо, чтобы сумма противоположных углов была равна 180°. В данном случае ∠A и ∠C — противоположные, ∠B и ∠D — противоположные. Если ∠A = 64°, то ∠C = 180° - 64° = 116°. Если ∠B = 116°, то ∠D = 180° - 116° = 64°. В данном случае сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, вписать окружность можно.
• 2) ∠B = 82°, ∠D = 108°. Сумма противоположных углов ∠B и ∠D равна 82° + 108° = 190°. Так как сумма противоположных углов не равна 180°, то описать окружность около такого четырёхугольника невозможно.

Ответ: 1) Да, 2) Нет.