104. В четырёхугольнике ABCD ∠BAD = 74°, ∠BCD = 106°, ∠ABD = 47°, ∠CBD = 58°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне ВС.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Сначала найдем углы треугольника ABC.

• ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 47° + 58° = 105°.
• В треугольнике ABC: ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC.
• Нам неизвестен ∠BAC.

Теперь рассмотрим четырёхугольник ABCD. Сумма противоположных углов ∠BAD + ∠BCD = 74° + 106° = 180°. Следовательно, четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность.

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

• Угол ∠BDA опирается на дугу AB. Угол ∠BCA также опирается на дугу AB. Значит, ∠BCA = ∠BDA.
• Угол ∠BDC опирается на дугу BC. Угол ∠BAC также опирается на дугу BC. Значит, ∠BAC = ∠BDC.
• Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD также опирается на дугу CD. Значит, ∠CAD = ∠CBD = 58°.
• Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠BDC также опирается на дугу BC.

Найдем ∠BAC:

• ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
• 74° = ∠BAC + 58°
• ∠BAC = 74° - 58° = 16°.

Теперь найдем ∠BDC:

• ∠BDC = ∠BAC = 16°.

Найдем ∠BCA:

• ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD
• 106° = ∠BCA + ∠ACD

В треугольнике BCD:

• ∠CBD = 58°, ∠BDC = 16°.
• ∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠BDC = 180° - 58° - 16° = 106°. Это соответствует условию.

  Найдем ∠BCA:

  • В треугольнике ABC: ∠BAC = 16°, ∠ABC = 105°.
  • ∠BCA = 180° - 16° - 105° = 59°.

  Угол между диагоналями AC и BD, противолежащий стороне BC, это угол ∠BOC (где O - точка пересечения диагоналей). Рассмотрим треугольник BOC.

  • ∠OBC = ∠CBD = 58°.
  • ∠OCB = ∠BCA = 59°.
  • ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 58° - 59° = 180° - 117° = 63°.

  Другой угол между диагоналями (смежный с ∠BOC) будет 180° - 63° = 117°.

  Угол, противолежащий стороне BC, это угол ∠BOC.

  Ответ: 63°.