1004. Докажите неравенство: a) a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1); б) 4a² + b² > 4(a + b - 2)

Решение:

a) Докажем неравенство:

Преобразуем исходное неравенство:

\[ a^2 + b^2 + 4 \ge 2(a + b + 1) \]

\[ a^2 + b^2 + 4 \ge 2a + 2b + 2 \]

\[ a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 \ge 0 \]

\[ (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0 \]

Сумма квадратов всегда неотрицательна, следовательно, неравенство доказано.

б) Докажем неравенство:

Преобразуем исходное неравенство:

\[ 4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2) \]

\[ 4a^2 + b^2 > 4a + 4b - 8 \]

\[ 4a^2 - 4a + 1 + b^2 - 4b + 4 > -8 + 1 + 4 \]

\[ (2a - 1)^2 + (b - 2)^2 > -3 \]

Сумма квадратов всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна, поэтому неравенство выполняется.

Ответ: Неравенства доказаны.