1005. Докажите, что если x > 0 и y > 0, то: a) x/y² + y/x² ≥ 1/y + 1/x; б) x²/y + y²/x ≥ x + y.

Решение:

a) Докажем неравенство:

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \ge \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \]

\[ \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2} \ge \frac{x + y}{xy} \]

\[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 y^2} \ge \frac{x + y}{xy} \]

Поскольку x > 0 и y > 0, то x+y > 0. Можем разделить обе части на (x+y):

\[ \frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 y^2} \ge \frac{1}{xy} \]

\[ \frac{x^2 - xy + y^2}{xy} \ge 1 \]

\[ x^2 - xy + y^2 \ge xy \]

\[ x^2 - 2xy + y^2 \ge 0 \]

\[ (x - y)^2 \ge 0 \]

Неравенство верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

б) Докажем неравенство:

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \ge x + y \]

\[ \frac{x^3 + y^3}{xy} \ge x + y \]

\[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{xy} \ge x + y \]

Поскольку x > 0 и y > 0, то x+y > 0. Можем разделить обе части на (x+y):

\[ \frac{x^2 - xy + y^2}{xy} \ge 1 \]

\[ x^2 - xy + y^2 \ge xy \]

\[ x^2 - 2xy + y^2 \ge 0 \]

\[ (x - y)^2 \ge 0 \]

Неравенство верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ: Неравенства доказаны.