1008. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.

Решение:

Пусть два положительных числа будут $$a$$ и $$b$$. Нам нужно доказать, что куб их полусуммы не превосходит полусуммы их кубов.

Полусумма чисел: $$\frac{a+b}{2}$$.

Куб полусуммы: $$\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 = \frac{(a+b)^3}{8}$$.

Полусумма кубов: $$\frac{a^3+b^3}{2}$$.

Нам нужно доказать, что:

\[ \frac{(a+b)^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} \]

Умножим обе части на 8:

\[ (a+b)^3 \le 4(a^3+b^3) \]

Раскроем куб суммы:

\[ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \le 4a^3 + 4b^3 \]

Перенесем все члены в правую часть:

\[ 0 \le 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 \]

\[ 0 \le 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 \]

Вынесем общий множитель 3:

\[ 0 \le 3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3) \]

Сгруппируем члены в скобках:

\[ a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 = a^2(a-b) - b^2(a-b) = (a^2 - b^2)(a-b) \]

Разложим разность квадратов:

\[ (a^2 - b^2)(a-b) = (a-b)(a+b)(a-b) = (a-b)^2(a+b) \]

Итак, неравенство принимает вид:

\[ 0 \le 3(a-b)^2(a+b) \]

Поскольку $$a$$ и $$b$$ — положительные числа, то $$a+b > 0$$.

Квадрат любого действительного числа $$(a-b)^2$$ неотрицателен.

Следовательно, $$3(a-b)^2(a+b) \ge 0$$.

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.