1007. Докажите, что: a) a+b/c + b+c/a + a+c/b ≥ 6, если a > 0, b > 0, c > 0; б) (1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.

Решение:

a) Докажем неравенство:

Исходное неравенство можно переписать как:

\[ \left(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right) + \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{b}\right) \ge 6 \]

Перегруппируем члены:

\[ \left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \ge 6 \]

По неравенству о средних арифметическом и геометрическом, для положительных чисел $$x$$ и $$y$$: $$x + y \ge 2\sqrt{xy}$$.

Применим это к каждой паре:

\[ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 2\sqrt{1} = 2 \]

\[ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\sqrt{\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b}} = 2\sqrt{1} = 2 \]

\[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2 \]

Складывая эти три неравенства, получаем:

\[ \left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \ge 2 + 2 + 2 = 6 \]

Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство:

Рассмотрим выражение $$(1+a)(1+b)(1+c)$$.

Поскольку $$a, b, c > 0$$, то $$1+a > 1$$, $$1+b > 1$$, $$1+c > 1$$.

Рассмотрим $$(1+a)$$, $$(1+b)$$, $$(1+c)$$.

По неравенству о средних:

\[ 1+a \ge 2\sqrt{1 \cdot a} = 2\sqrt{a} \]

\[ 1+b \ge 2\sqrt{1 \cdot b} = 2\sqrt{b} \]

\[ 1+c \ge 2\sqrt{1 \cdot c} = 2\sqrt{c} \]

Перемножим эти неравенства:

\[ (1+a)(1+b)(1+c) \ge (2\sqrt{a})(2\sqrt{b})(2\sqrt{c}) = 8\sqrt{abc} \]

Нам дано, что $$abc = 9$$. Подставим это значение:

\[ (1+a)(1+b)(1+c) \ge 8\sqrt{9} = 8 \cdot 3 = 24 \]

Таким образом, мы доказали, что $$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 24$$.

Для строгого неравенства $$> 24$$, рассмотрим случай равенства. Равенство в неравенстве о средних достигается, когда $$1=a$$, $$1=b$$, $$1=c$$. В этом случае $$abc = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$. Однако нам дано $$abc = 9$$. Следовательно, равенство достигаться не может, и неравенство будет строгим.

Ответ: Неравенства доказаны.