1006. Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство: a) (a + b)(ab + 16) ≥ 16ab; б) (a² + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab.

Решение:

a) Докажем неравенство:

Раскроем скобки:

\[ (a + b)(ab + 16) \ge 16ab \]

\[ a(ab) + 16a + b(ab) + 16b \ge 16ab \]

\[ a^2b + 16a + ab^2 + 16b \ge 16ab \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ a^2b + 16a + ab^2 + 16b - 16ab \ge 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ ab(a + b) + 16(a + b) - 16ab \ge 0 \]

Это не приводит к очевидному решению. Попробуем иначе:

Рассмотрим разность:

\[ (a + b)(ab + 16) - 16ab = a^2b + 16a + ab^2 + 16b - 16ab = \]

\[ = ab(a+b) - 16ab + 16(a+b) = \]

Заметим, что $$(a+b)(ab+16) = a^2b + 16a + ab^2 + 16b$$.

Рассмотрим $$(a+b)(ab+16) - 16ab = a^2b + 16a + ab^2 + 16b - 16ab$$.

Попробуем выделить полные квадраты:

Рассмотрим $$(a-b)^2 \times (ab) = (a^2 - 2ab + b^2)ab = a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$$. Это не подходит.

Попробуем использовать неравенство о средних:

\[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad \text{и} \quad \frac{ab+16}{2} \ge \sqrt{16ab} = 4\sqrt{ab} \]

Произведение:

\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{ab+16}{2}\right) \ge \sqrt{ab} \cdot 4\sqrt{ab} = 4ab \]

\[ \frac{(a+b)(ab+16)}{4} \ge 4ab \]

\[ (a+b)(ab+16) \ge 16ab \]

Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство:

Рассмотрим разность:

\[ (a^2 + 4b)(4b + 25) - 80ab = 4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b - 80ab \]

Сгруппируем:

\[ 25a^2 - 80ab + 4a^2b + 16b^2 + 100b \]

Заметим, что $$25a^2$$ и $$16b^2$$ являются полными квадратами. Попробуем выделить полный квадрат $$25a^2 + 16b^2$$.

Рассмотрим $$(5a - 4b)^2 = 25a^2 - 40ab + 16b^2$$.

Вернемся к исходному выражению:

\[ (a^2 + 4b)(4b + 25) = 4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b \]

Нам нужно доказать, что $$4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b \ge 80ab$$.

Перенесем все в левую часть:

\[ 25a^2 + 4a^2b + 16b^2 + 100b - 80ab \ge 0 \]

Рассмотрим $$25a^2 - 80ab + 16b^2$$. Это не полный квадрат.

Попробуем выделить полные квадраты иначе:

\[ (a^2 + 4b)(4b + 25) - 80ab = 4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b - 80ab \]

Рассмотрим $$(25a^2 - 80ab + 64b^2)$$ - это $$(5a-8b)^2$$. Не подходит.

Попробуем использовать неравенство о средних:

\[ \frac{a^2+4b}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot 4b} = 2a\sqrt{b} \]

\[ \frac{4b+25}{2} \ge \sqrt{4b \cdot 25} = \sqrt{100b} = 10\sqrt{b} \]

Произведение:

\[ \left(\frac{a^2+4b}{2}\right)\left(\frac{4b+25}{2}\right) \ge 2a\sqrt{b} \cdot 10\sqrt{b} = 20ab \]

\[ \frac{(a^2+4b)(4b+25)}{4} \ge 20ab \]

\[ (a^2+4b)(4b+25) \ge 80ab \]

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенства доказаны.