1009. Докажите, что √(a+c)(b + d) ≥ √ab + √cd, если а > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

Решение:

Возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе части неотрицательны:

\[ \left(\sqrt{(a+c)(b + d)}\right)^2 \ge \left(\sqrt{ab} + \sqrt{cd}\right)^2 \]

\[ (a+c)(b + d) \ge (\sqrt{ab})^2 + 2\sqrt{ab}\sqrt{cd} + (\sqrt{cd})^2 \]

\[ ab + ad + cb + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd \]

Сократим одинаковые члены $$ab$$ и $$cd$$ в обеих частях:

\[ ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} \]

Разделим обе части на 2:

\[ \frac{ad + cb}{2} \ge \sqrt{abcd} \]

Это неравенство является частным случаем неравенства о средних арифметическом и геометрическом, где среднее арифметическое двух положительных чисел ($$ad$$ и $$cb$$) больше или равно их среднему геометрическому ($$\sqrt{ad \cdot cb} = \sqrt{abcd}$$).

Чтобы доказать это непосредственно:

Рассмотрим разность:

\[ ad + cb - 2\sqrt{abcd} \]

Мы можем переписать $$ad$$ как $$(\sqrt{ad})^2$$ и $$cb$$ как $$(\sqrt{cb})^2$$. Однако, более удобно рассмотреть $$a, b, c, d$$ как составляющие.

Вернемся к:

\[ ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} \]

Это эквивалентно:

\[ ad - 2\sqrt{abcd} + cb \ge 0 \]

Попробуем представить это как квадрат разности. Для этого можно заметить, что $$a, b, c, d$$ положительны. Можно переписать $$\sqrt{abcd}$$ как $$\sqrt{ad} \cdot \sqrt{cb}$$.

Рассмотрим:

\[ (\sqrt{ad} - \sqrt{cb})^2 \ge 0 \]

\[ (\sqrt{ad})^2 - 2\sqrt{ad}\sqrt{cb} + (\sqrt{cb})^2 \ge 0 \]

\[ ad - 2\sqrt{abcd} + cb \ge 0 \]

\[ ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} \]

Это неравенство верно. Таким образом, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.