101*. При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок: а) на 5 равных частей; б) в отношении 2 : 1.

Пусть дан отрезок \(AB\). Для обоих построений используем теорему Фалеса: параллельные прямые, проведённые через равные деления одного луча, отсекают равные части на другом.

а) Деление на 5 равных частей.

1. Из точки \(A\) проведите произвольный луч.
2. Циркулем отложите на луче подряд пять равных отрезков, получив точки \(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\).
3. Соедините \(P_5\) с \(B\).
4. Через \(P_1,P_2,P_3,P_4\) проведите прямые, параллельные \(P_5B\). Их пересечения с \(AB\) разделят отрезок на пять равных частей.

б) Деление в отношении \(2:1\).

1. Из точки \(A\) проведите произвольный луч.
2. Отложите на луче три равных отрезка, получив точки \(Q_1,Q_2,Q_3\).
3. Соедините \(Q_3\) с \(B\), затем через \(Q_2\) проведите параллельную прямую.
4. Точка пересечения этой прямой с \(AB\) делит отрезок в отношении \(2:1\): часть от \(A\) вдвое больше части от точки деления до \(B\).

Полученная точка \(X\) удовлетворяет условию \(AX:XB=2:1\).