1033. Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Докажем, что BC/sin A = 2R, или BC = 2R sin A.

Проведём диаметр \(BD\) описанной окружности и соединим точку \(D\) с точкой \(C\). Так как угол, опирающийся на диаметр, прямой, то \(\angle BCD=90°\).

В прямоугольном треугольнике BCD:

\[\sin\angle BDC=\frac{BC}{BD}.\]

По свойству вписанных углов углы \(\angle BDC\) и \(\angle BAC\) равны, так как опираются на одну и ту же дугу \(BC\). Поэтому \(\angle BDC=A\). Кроме того, \(BD=2R\).

Следовательно,

\[\sin A=\frac{BC}{2R},\]

откуда

\[\frac{BC}{\sin A}=2R,\qquad BC=2R\sin A.\]

Что и требовалось доказать.