105. Найдите углы, образованные в результате пересечения двух прямых, если: 1) сумма двух из них равна 106°; 2) сумма трех из них равна 305°.

Решение:

1. Пусть две пересекающиеся прямые образуют углы \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) и \( \delta \). Вертикальные углы равны, поэтому \( \alpha = \gamma \) и \( \beta = \delta \). Смежные углы в сумме дают 180°, \( \alpha + \beta = 180° \).
2. 1) Если сумма двух углов равна 106°:
   • Случай 1: Сумма смежных углов равна 106°. Это невозможно, так как сумма смежных углов равна 180°.
   • Случай 2: Сумма двух вертикальных углов равна 106°. Тогда каждый из этих углов равен \( 106° / 2 = 53° \). Смежный с ними угол равен \( 180° - 53° = 127° \). Таким образом, углы равны 53°, 127°, 53°, 127°.
3. 2) Если сумма трех углов равна 305°:
   • Пусть \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) — три угла. Так как \( \alpha = \gamma \), то \( 2\alpha + \beta = 305° \).
   • Также мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180° \).
   • Выразим \( \beta \) из второго уравнения: \( \beta = 180° - \alpha \).
   • Подставим в первое уравнение: \( 2\alpha + (180° - \alpha) = 305° \).
   • Упростим: \( \alpha + 180° = 305° \).
   • \( \alpha = 305° - 180° = 125° \).
   • Тогда \( \gamma = \alpha = 125° \).
   • \( \beta = 180° - 125° = 55° \).
   • Четвёртый угол \( \delta = \beta = 55° \).

Ответ: 1) 53°, 127°, 53°, 127°; 2) 125°, 55°, 125°, 55°.