1065(H). Предмет расположен в 25 см от собирающей линзы с радиусами кривизны поверхностей 20 см. Определить показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, если действительное изображение предмета получилось на расстоянии 1 м от нее.

Решение:

Дано:

• Расстояние от предмета до линзы: \( d = 25 \text{ см} \)
• Расстояние от изображения до линзы: \( f = 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \)
• Радиусы кривизны поверхностей: \( R_1 = 20 \text{ см} \), \( R_2 = 20 \text{ см} \) (предполагаем, что линза симметричная)

Найти:

• Показатель преломления стекла: \( n \)

1. Найдем фокусное расстояние линзы, используя формулу линзы:

\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{1}{25 \text{ см}} + \frac{1}{100 \text{ см}} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{4}{100 \text{ см}} + \frac{1}{100 \text{ см}} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{5}{100 \text{ см}} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{20 \text{ см}} \]

Следовательно, фокусное расстояние \( F = 20 \text{ см} \).

2. Воспользуемся формулой тонкой линзы для определения показателя преломления:

Формула тонкой линзы (для стекла в воздухе):

\[ \frac{1}{F} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

Для собирающей линзы, изготовленной из стекла, поверхности выпуклые, поэтому радиусы \( R_1 \) и \( R_2 \) считаются положительными. Если бы одна из поверхностей была вогнутой, соответствующий радиус был бы отрицательным. В данном случае, поскольку указано, что линза собирающая и радиусы кривизны равны 20 см, можно предположить, что обе поверхности имеют радиус 20 см.

\[ \frac{1}{20 \text{ см}} = (n-1) \left( \frac{1}{20 \text{ см}} - \frac{1}{20 \text{ см}} \right) \]

Внимание! Если обе поверхности имеют одинаковый радиус кривизны, то \( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} = 0 \), что дает \( \frac{1}{F} = 0 \). Это означает, что фокусное расстояние бесконечно, и линза не может быть собирающей. Здесь, вероятно, подразумевается, что линза собирающая, поэтому радиусы должны быть разными, или один из радиусов отрицательный (если линза двояковыпуклая, оба положительные). Предположим, что \( R_1 = 20 \text{ см} \) (выпуклая) и \( R_2 = -20 \text{ см} \) (вогнутая, если бы линза была плоско-выпуклой, то \( R_2 = \infty \) и \( 1/R_2 = 0 \)).

Переосмыслим условие: Если линза собирающая с радиусами кривизны 20 см, то обычно это означает, что радиус выпуклости каждой поверхности равен 20 см. Для двояковыпуклой линзы формула выглядит так:

\[ \frac{1}{F} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \]

где \( R_1 \) и \( R_2 \) — модули радиусов.

\[ \frac{1}{20 \text{ см}} = (n-1) \left( \frac{1}{20 \text{ см}} + \frac{1}{20 \text{ см}} \right) \]
\[ \frac{1}{20 \text{ см}} = (n-1) \left( \frac{2}{20 \text{ см}} \right) \]

Разделим обе части на \( \frac{1}{20 \text{ см}} \):

\[ 1 = (n-1) \cdot 2 \]
\[ 1 = 2n - 2 \]

Прибавим 2 к обеим частям:

\[ 3 = 2n \]

Разделим на 2:

\[ n = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: Показатель преломления стекла равен 1.5.