11.10. Точку M симметрично отразили относительно сторон угла AOB и получили точки M₁ и M₂. На отрезок M₁M₂ из точки O опустили перпендикуляр OH (рис. 11.37). Докажите, что углы AOH и BOM равны.

Обозначим α = ∠AOM, β = ∠MOB. Тогда ∠AOB = α + β.

При отражении сохраняется расстояние до точки O, поэтому OM₁ = OM = OM₂. Следовательно, треугольник OM₁M₂ равнобедренный. Перпендикуляр OH, проведённый из его вершины O к основанию M₁M₂, является также биссектрисой угла M₁OM₂.

Из симметрии относительно OA луч OM₁ образует с OA угол α; симметрия относительно OB задаёт для OM₂ угол β с OB. Поэтому ∠M₁OM₂ = 2∠AOB, а его биссектриса OH образует с OA угол ∠AOB − α = β. Но β = ∠BOM.

Ответ: ∠AOH = ∠BOM.