11.5. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O (рис. 11.33). Известно, что угол BAD равен углу ADC, AO = OD. Докажите, что AB = CD.

Так как AO = OD, треугольник AOD равнобедренный, поэтому ∠OAD = ∠ADO.

По условию ∠BAD = ∠ADC. Вычтем из этих равных углов равные углы ∠OAD и ∠ADO. Получим ∠BAO = ∠ODC.

Рассмотрим треугольники AOB и DOC. У них AO = OD, ∠BAO = ∠ODC, а ∠AOB = ∠DOC как вертикальные углы. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: AB = CD.