11.7. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O (рис. 11.35). Оказалось, что AO = CO, MO = KO. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Рассмотрим треугольники AOM и COK. У них AO = CO и MO = KO по условию, а ∠AOM = ∠COK как вертикальные углы. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = CK.

Кроме того, AK = AO + OK, а CM = CO + OM. Из условий AO = CO и OK = OM следует, что AK = CM.

Теперь сравним треугольники ABK и CBM. ∠BAK = ∠BCM следует из равенства треугольников AOM и COK; ∠ABK = ∠CBM, поскольку это углы между прямыми BA и BC. Также AK = CM. Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AB = CB.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, AB = BC.