11.8. Точка M не лежит на прямой. Её соединили отрезком с некоторой точкой A на этой прямой так, что отрезок AM не перпендикулярен данной прямой (рис. 11.36). Докажите, что на этой прямой можно найти ещё ровно одну точку на таком же расстоянии от точки M.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на данную прямую. Так как AM не перпендикулярен прямой, A ≠ H. Отметим на прямой точку A′, симметричную A относительно H. Тогда HA′ = HA.

Треугольники MHA и MHA′ прямоугольные, имеют общий катет MH и равные катеты HA = HA′. Поэтому MA′ = MA, причём A′ отличается от A.

Докажем, что других таких точек нет. Если точка X на прямой удовлетворяет MX = MA, то из теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках MHX и MHA следует HX² = MX² − MH² = MA² − MH² = HA². Значит, HX = HA. На прямой ровно две точки на расстоянии HA от H: A и A′.

Ответ: существует ровно одна отличная от A точка A′ на таком же расстоянии от M.