11.6. В четырёхугольнике ABCD угол A равен углу D, а угол B равен углу C, причём прямые AB и CD не параллельны (рис. 11.34). Докажите, что AB = CD.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°. По условию ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, поэтому ∠A + ∠B = 180°.

Углы A и B — внутренние односторонние при прямых AD и BC и секущей AB. Так как их сумма равна 180°, AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — трапеция; по условию AB и CD не параллельны, значит, это её боковые стороны.

Опустим из B и C перпендикуляры BE и CF на прямую AD. Поскольку AD ∥ BC, расстояния между этими параллельными прямыми равны: BE = CF. Треугольники ABE и DCF прямоугольные, ∠BAE = ∠CDF по условию ∠A = ∠D, а BE = CF. Поэтому эти треугольники равны, откуда равны их гипотенузы AB и CD.

Ответ: AB = CD.