11) 2sin²x - 5sin x - 7=0

Решение:

Данное уравнение является тригонометрическим, приведённым к квадратному.

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Поскольку \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -1 \le t \le 1 \).
2. Уравнение примет вид: \( 2t^2 - 5t - 7 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \).
4. Найдем корни \( t \):
• \( t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)
• \( t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
5. Вернемся к замене \( t = \sin x \).
• \( \sin x = \frac{7}{2} \) — нет решений, так как \( \frac{7}{2} > 1 \).
• \( \sin x = -1 \) — решения существуют.
6. Решим уравнение \( \sin x = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).