14) 4^{x+2} + 4^{x-1} = 260

Решение:

Данное уравнение является показательным.

1. Вынесем общий множитель \( 4^{x-1} \) за скобки:
• \( 4^{x+2} = 4^{(x-1)+3} = 4^{x-1} \cdot 4^3 \)
• \( 4^{x-1} = 4^{x-1} \cdot 1 \)
2. Уравнение примет вид: \( 4^{x-1} \cdot 4^3 + 4^{x-1} \cdot 1 = 260 \).
3. \( 4^{x-1} (4^3 + 1) = 260 \).
4. \( 4^{x-1} (64 + 1) = 260 \).
5. \( 4^{x-1} \cdot 65 = 260 \).
6. Разделим обе части на 65: \( 4^{x-1} = \frac{260}{65} \).
7. \( 4^{x-1} = 4 \).
8. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: \( x-1 = 1 \).
9. \( x = 1 + 1 \) \(\implies\) \( x = 2 \).

Ответ: \( x=2 \).