11*. AC = BC, BK — биссектриса, HK = 2, KC = 4. Найти BH.

Пусть \(BH=x\). Так как \(BH\perp HC\), треугольники BHK и BHC прямоугольные. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABC:

\[\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}.\]

Поскольку \(AC=BC\), а \(AK=AH+HK=AH+2\), получаем \(AB=AC=AH+6\). Обозначим \(AH=y\). Тогда по теореме Пифагора:

\[AB^2=BH^2+AH^2,\qquad BC^2=BH^2+HC^2.\]

Из \(AB=BC\) следует \(AH=HC dash; y=HC\). Поэтому \(AC=AH+HC=2y\), а \(BC=2y\). В треугольнике BHC:

\[x^2+y^2=(2y)^2=4y^2,\qquad x^2=3y^2.\]

Дополнительно из условия биссектрисы следует \(\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=1\), значит \(AK=KC=4\), поэтому \(AH=2\). Тогда \(x=\sqrt3\cdot2=2\sqrt3\).

Ответ: \(BH=2\sqrt3\).