9. Докажите, что AH : HB =

В прямоугольном треугольнике ACB высота \(CH\) проведена к гипотенузе \(AB\). Угол \(B=30^\circ\), значит угол \(A=60^\circ\).

Из свойства проекций катетов на гипотенузу:

\[AH=\frac{AC^2}{AB},\qquad HB=\frac{BC^2}{AB}.\]

Следовательно,

\[AH:HB=AC^2:BC^2.\]

В треугольнике ABC отношение катетов, лежащих напротив углов \(30^\circ\) и \(60^\circ\), равно \(BC:AC=1:\sqrt3\). Поэтому \(AC^2:BC^2=3:1\).

Ответ: \(AH:HB=3:1\).