11. Calculate the integral: ∫ from -1 to 3 of 3x² dx

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-1}^{3} 3x^2 dx \]

1. Найдём первообразную для функции \( 3x^2 \).

\[ \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C \].

Первообразная: \( F(x) = x^3 \).

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \].

\[ \int_{-1}^{3} 3x^2 dx = F(3) - F(-1) \].

\[ F(3) = 3^3 = 27 \].

\[ F(-1) = (-1)^3 = -1 \].

\[ \int_{-1}^{3} 3x^2 dx = 27 - (-1) = 27 + 1 = 28 \].

Ответ: 28.