2. Simplify the expressions: (cos 3x - 1) / (sin 6x - 2 sin 3x)

Решение:

Используем формулы:

\( \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) \) ⇒ \( \cos(3x) - 1 = -2\sin^2(\frac{3x}{2}) \).

\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \) ⇒ \( \sin(6x) = 2\sin(3x)\cos(3x) \).

Подставляем в выражение:

\[ \(\frac{\cos(3x) - 1}{\sin(6x) - 2\sin(3x)}\) = \(\frac\){-2\(\sin\)^2\(\frac{3x}{2}\)}{2\(\sin\)(3x)\(\cos\)(3x) - 2\(\sin\)(3x)} \).

Выносим \( 2\sin(3x) \) из знаменателя:

\[ \(\frac\){-2\(\sin\)^2\(\frac{3x}{2}\)}{2\(\sin\)(3x)(\(\cos\)(3x) - 1)} \).

Используем \( \cos(3x) - 1 = -2\sin^2(\frac{3x}{2}) \):

\[ \(\frac\){-2\(\sin\)^2\(\frac{3x}{2}\)}{2\(\sin\)(3x)(-2\(\sin\)^2\(\frac{3x}{2}\))} = \(\frac{1}{-2\sin(3x)}\) = -\(\frac{1}{2\sin(3x)}\) \).

Ответ: \( -\frac{1}{2\sin(3x)} \).