8. Derivative. Find the derivative: a) 3x² - x³ b) 4x² + 6x + 3 c) (3x² + 1)(3x² - 1) d) x / (1 + x²)

Решение:

Используем правила дифференцирования:

\( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \)

\( (c · f(x))' = c · f'(x) \)

\( (x^n)' = nx^{n-1} \)

\( (uv)' = u'v + uv' \) (правило Лейбница)

\( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) (правило частного)

а) \( (3x^2 - x^3)' \)

\[ (3x^2)' - (x^3)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 3x^{3-1} = 6x - 3x^2 \].

б) \( (4x^2 + 6x + 3)' \)

\[ (4x^2)' + (6x)' + (3)' = 4 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 8x + 6 \].

в) \( ((3x^2 + 1)(3x^2 - 1))' \)

Сначала раскроем скобки: \( (3x^2 + 1)(3x^2 - 1) = (3x^2)^2 - 1^2 = 9x^4 - 1 \).

\[ (9x^4 - 1)' = 9 \cdot 4x^{4-1} - 0 = 36x^3 \].

г) \( (\frac{x}{1 + x^2})' \)

Здесь \( u = x \), \( v = 1 + x^2 \).

\( u' = 1 \).

\( v' = 2x \).

\[ (\frac{x}{1 + x^2})' = \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot (2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \].

Ответ:

а) \( 6x - 3x^2 \)

б) \( 8x + 6 \)

в) \( 36x^3 \)

г) \( \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)