11. DB — высота пирамиды DABC, DB=AC. Найдите скалярное произведение векторов MN и KP (M, N, P, K — середины ребер).

На рисунке M и N — середины AC и DB соответственно, P — середина CD, K — середина AB. Обозначим \(\overrightarrow{AC}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{DB}=\mathbf v\). Поскольку DB — высота, \(\mathbf u\perp\mathbf v\), а по условию \(|\mathbf u|=|\mathbf v|\).

Положим C за начало: A=\(\mathbf u\), D=\(\mathbf w\), B=\(\mathbf w+\mathbf v\). Тогда M=\(\frac12\mathbf u\), N=\(\mathbf w+\frac12\mathbf v\), P=\(\frac12\mathbf w\), K=\(\frac12(\mathbf u+\mathbf w+\mathbf v)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MN}=\mathbf w+\frac12\mathbf v-\frac12\mathbf u\), \(\overrightarrow{KP}=-\frac12(\mathbf u+\mathbf v)\). Их скалярное произведение содержит член \(-\frac12\mathbf w\cdot(\mathbf u+\mathbf v)\), который не определяется условиями. Данных о взаимном расположении/длинах рёбер основания относительно D недостаточно для численного значения.

Для однозначного ответа нужно дополнительное условие, определяющее соответствующие углы или векторы пирамиды.