6. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, каждое из ребер которой равно 6. Найдите координаты и скалярное произведение векторов AC и DN (N — середина ребра SB).

Используем координаты с центром основания в начале: A=(−3√2,0,0), B=(0,−3√2,0), C=(3√2,0,0), D=(0,3√2,0), S=(0,0,3√2). Середина SB имеет координаты \(N=(0,−\frac{3\sqrt2}{2},\frac{3\sqrt2}{2})\).

\(\overrightarrow{AC}=C-A=(6\sqrt2,0,0)\).

\(\overrightarrow{DN}=N-D=(0,−\frac{9\sqrt2}{2},\frac{3\sqrt2}{2})\).

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DN}=6\sqrt2\cdot0+0\cdot(-\frac{9\sqrt2}{2})+0\cdot\frac{3\sqrt2}{2}=0\).

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=(6\sqrt2,0,0)\), \(\overrightarrow{DN}=(0,−\frac{9\sqrt2}{2},\frac{3\sqrt2}{2})\), скалярное произведение равно 0.