5. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, каждое из ребер которой равно 6. Найдите координаты точек P, P₁, если SP=2, PP₁ ⟂ (ABC), P₁ ∈ (ABC).

Примем координаты из рисунка: H=(0,0,0), S=(0,0,3√2), A=(−3√2,0,0), B=(0,−3√2,0), C=(3√2,0,0), D=(0,3√2,0). По рисунку P лежит на ребре SC. Так как SC=6 и SP=2, точка P делит SC в отношении 1:2 от S к C:

\(P=S+\frac13(C-S)=(0,0,3\sqrt2)+\frac13(3\sqrt2,0,-3\sqrt2)=(\sqrt2,0,2\sqrt2)\).

Перпендикулярная проекция на плоскость основания z=0 даёт \(P_1=(\sqrt2,0,0)\).

Ответ: \(P(\sqrt2,0,2\sqrt2)\), \(P_1(\sqrt2,0,0)\).