11. Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 11. Углы между диагоналями прямоугольника

Дано:

• Прямоугольник.
• Угол между диагональю и стороной \( = 74^{\circ} \).

Найти: Острый угол между диагоналями.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольники, образованные диагоналями и сторонами, равнобедренные.

Пусть диагонали пересекаются в точке О. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных стороной и двумя половинами диагоналей. Пусть угол между диагональю и стороной равен \( 74^{\circ} \). Тогда угол между диагональю и другой стороной равен \( 90^{\circ} - 74^{\circ} = 16^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника. Этот треугольник равнобедренный, углы при основании равны \( 16^{\circ} \). Угол между диагоналями в этом треугольнике равен \( 180^{\circ} - 16^{\circ} - 16^{\circ} = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ} \).

Угол, который нам нужно найти — острый угол между диагоналями. Этот угол смежный с углом \( 148^{\circ} \). Следовательно, острый угол равен \( 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).

Ответ: 32°.