24. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.

Задание 24. Сторона треугольника через радиус описанной окружности

Дано:

• Треугольник АВС.
• \( \angle B = 64^{\circ} \)
• \( \angle C = 86^{\circ} \)
• Радиус описанной окружности \( R = 13 \).

Найти: Сторону ВС.

Решение:

Сначала найдем третий угол треугольника \( \angle A \).

\( \angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) \)

\[ \angle A = 180^{\circ} - (64^{\circ} + 86^{\circ}) \]

\[ \angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} \]

\[ \angle A = 30^{\circ} \]

Теперь используем теорему синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Нам нужно найти сторону ВС, которая обозначается как \( a \). Противолежащий ей угол — \( \angle A \).

\[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \]

\[ BC = 2R \cdot \sin A \]

Подставим известные значения:

\[ BC = 2 \cdot 13 \cdot \sin 30^{\circ} \]

\[ BC = 26 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ BC = 13 \]

Ответ: 13.