11. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 31° и 83°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Обозначим через \(\alpha\) угол при большем основании. По рисунку угол между диагональю AC и боковой стороной AB равен \(31^\circ\), а угол ACD равен \(83^\circ\).

В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, значит \(\angle ADC=\alpha\). Угол \(CAD\) равен \(\alpha-31^\circ\), поскольку диагональ делит угол при A.

Сумма углов треугольника ACD:

\((\alpha-31^\circ)+\alpha+83^\circ=180^\circ\), откуда \(2\alpha=128^\circ\), поэтому \(\alpha=64^\circ\).

Ответ: \(64^\circ\).