11. К однородному медному цилиндрическому проводнику дли- ной 10 м приложили разность потенциалов 1 В. Определите промежуток времени, в течение которого температура проводника повысится на 10 К. Изменением сопротивления проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренебречь.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определяем количество теплоты, необходимое для нагрева.
• Формула для количества теплоты: \( Q = c \cdot m \cdot \Delta T \), где:
• \( c \) — удельная теплоемкость вещества (для меди \( c_{Cu} ≈ 385 \) Дж/(кг·°C)),
• \( m \) — масса проводника,
• \( \Delta T = 10 \) К — изменение температуры.
• Шаг 2: Определяем массу проводника.
• Масса \( m = \rho \cdot V \), где:
• \( \rho \) — плотность вещества (для меди \( \rho_{Cu} ≈ 8900 \) кг/м³),
• \( V \) — объем проводника.
• Объем цилиндрического проводника \( V = S \cdot L \), где:
• \( S \) — площадь поперечного сечения,
• \( L = 10 \) м — длина проводника.
• Масса: \( m = \rho_{Cu} \cdot S \cdot L \).
• Шаг 3: Определяем количество теплоты, выделяемое в проводнике (по закону Джоуля-Ленца).
• \( Q_{ выделенное} = I^2 \cdot R \cdot t \)
• Сила тока \( I \) определяется законом Ома: \( I = \frac{U}{R} \).
• Подставляем \( I \) в формулу: \( Q_{ выделенное} = \left( \frac{U}{R} \right)^2 \cdot R \cdot t = \frac{U^2}{R^2} \cdot R \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t \).
• Сопротивление проводника \( R = \rho_{уд} \cdot \frac{L}{S} \), где \( \rho_{уд} \) — удельное электрическое сопротивление меди (\( \rho_{уд, Cu} ≈ 1.68 · 10^{-8} \) Ом·м).
• Подставляем \( R \) в формулу: \( Q_{ выделенное} = \frac{U^2}{\rho_{уд} \cdot \frac{L}{S}} \cdot t = \frac{U^2 · S \cdot t}{\rho_{уд} \cdot L} \).
• Шаг 4: Приравниваем количество теплоты для нагрева и выделенное тепло.
• \( c_{Cu} \cdot m \cdot \Delta T = Q_{ выделенное} \)
• \( c_{Cu} \cdot (\rho_{Cu} \cdot S \cdot L) \cdot \Delta T = \frac{U^2 \cdot S \cdot t}{\rho_{уд, Cu} \cdot L} \)
• Площадь поперечного сечения \( S \) сокращается.
• \( c_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot L \cdot \Delta T = \frac{U^2 \cdot t}{\rho_{уд, Cu} \cdot L} \)
• Шаг 5: Выражаем время \( t \).
• \( t = \frac{c_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot L^2 \cdot \Delta T \cdot \rho_{уд, Cu}}{U^2} \)
• Подставляем значения:
• \( c_{Cu} = 385 \) Дж/(кг·°C)
• \( \rho_{Cu} = 8900 \) кг/м³
• \( L = 10 \) м
• \( \Delta T = 10 \) К
• \( \rho_{уд, Cu} = 1.68 · 10^{-8} \) Ом·м
• \( U = 1 \) В
• \( t = \frac{385 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot 8900 \text{ кг/м³} \cdot (10 \text{ м})^2 \cdot 10 \text{ К} \cdot 1.68 · 10^{-8} \text{ Ом·м}}{(1 \text{ В})^2} \)
• \( t = \frac{385 · 8900 · 100 · 10 · 1.68 · 10^{-8}}{1} \)
• \( t ≈ 5.77 \text{ с} \)

Ответ: ~5.77 с