№ 11. На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD), AD = 10, CD = 5, ∠ABD = 90°. Найти отмеченные углы.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому AB = CD = 5.

В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = 5. Следовательно, sin ∠ADB = AB/AD = 1/2, откуда ∠ADB = 30°.

Угол при A в треугольнике ABD равен 180° − 90° − 30° = 60°. Это отмеченный угол BAD.

Так как AD ∥ BC, углы BAD и ABC supplementary, поэтому ∠ABC = 120°.

Диагональ BD делит угол ABC на ∠ABD = 90° и отмеченный ∠DBC; значит ∠DBC = 120° − 90° = 30°.

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, значит ∠CDA = ∠BAD = 60°. Тогда отмеченный угол BDC = ∠CDA − ∠ADB = 60° − 30° = 30°.

Ответ: ∠BAD = 60°, ∠ABC = 120°, ∠DBC = 30°, ∠BDC = 30°.