№ 9. На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD), AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD делит угол при D пополам. Найти AD.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:

BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, поэтому BH = 2√10.

Поскольку AB = CD и трапеция равнобедренная, проекции боковых сторон на основание равны: AH = KD = 3, где K — основание перпендикуляра из C на AD. Тогда HK = BC.

Из условия BD — биссектриса угла ADK, значит ∠ADB = ∠BDK. Поскольку BH ⟂ AD и CK ⟂ AD, а BC ∥ AD, треугольник BHD прямоугольный, а горизонтальный отрезок HD равен DK + KH. Условие биссектрисы приводит к равенству AH и HK; следовательно, HK = 3.

Тогда AD = AH + HK + KD = 3 + 3 + 3 = 9.

Ответ: AD = 9.