11. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Олимп» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение:

Бросок монеты — это независимое событие. Вероятность выигрыша жребия для любой команды равна \( \frac{1}{2} \).

Команда «Олимп» играет 3 матча. Нам нужно найти вероятность того, что «Физик» (будем считать, что «Физик» — это одна из команд, а «Олимп» — другая, и жребий бросается между ними) выиграет ровно 2 раза из 3.

Это задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли:

\( P_n(k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \), где:

• \( n \) — количество испытаний (матчей) = 3.
• \( k \) — количество успешных исходов (выигрышей «Физика») = 2.
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (вероятность выигрыша «Физика») = \( \frac{1}{2} \).
• \( q \) — вероятность неудачи в одном испытании (вероятность проигрыша «Физика») = \( 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Рассчитаем число сочетаний:

\( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3 \).

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

\( P_3(2) = C_3^2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^{3-2} = 3 \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2}) = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \).

\( \frac{3}{8} = 0.375 \).

Ответ: 0.375