11. Решите уравнение: √2 sin(2π - x) cos x = cos x

Решение:

1. Воспользуемся формулой приведения: \( \sin(2\pi - x) = -\sin x \).
2. Уравнение примет вид: \( \sqrt{2} (-\sin x) \cos x = \cos x \)
3. \( -\sqrt{2} \sin x \cos x = \cos x \)
4. Перенесем все в одну сторону: \( -\sqrt{2} \sin x \cos x - \cos x = 0 \)
5. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (-\sqrt{2} \sin x - 1) = 0 \)
6. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• Случай 1: \( \cos x = 0 \)
• \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2: \( -\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \)
• \( -\sqrt{2} \sin x = 1 \)
• \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi m = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi m = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m \), где \( k, m \in \mathbb{Z} \).

Объединяя решения, получаем:

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi j \), где \( n, j \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi j \), \( n, j \in \mathbb{Z} \)