7. Найдите производную: (x^2 * arccos x)'

Решение:

Используем правило производной произведения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x^2 \) и \( v = \arccos x \).

Тогда \( u' = 2x \).

Производная арккосинуса: \( v' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \).

Подставим в формулу:

\( (x^2 \arccos x)' = (x^2)' \arccos x + x^2 (\arccos x)' \)

\( = 2x \arccos x + x^2 \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \)

\( = 2x \arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \)

Ответ: \( 2x \arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \)