11. Решите уравнение: х⁴ - 2х² - 15 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 2y - 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( x^2 = y \):

1. \( x^2 = 5 \) => \( x = \pm\sqrt{5} \)
2. \( x^2 = -3 \) — действительных корней не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( \pm\sqrt{5} \)