12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{176}{v+3} \) часа.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{176}{v-3} \) часа.

Общее время в пути, включая стоянку, равно 20 часам. Время стоянки — 1 час.

Время движения = Общее время - Время стоянки = 20 - 1 = 19 часов.

Составим уравнение:

\[ t_1 + t_2 = 19 \]

\[ \frac{176}{v+3} + \frac{176}{v-3} = 19 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{176(v-3) + 176(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 19 \]

\[ \frac{176v - 528 + 176v + 528}{v^2 - 9} = 19 \]

\[ \frac{352v}{v^2 - 9} = 19 \]

\[ 352v = 19(v^2 - 9) \]

\[ 352v = 19v^2 - 171 \]

\[ 19v^2 - 352v - 171 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \). Дискриминант:

\[ D = (-352)^2 - 4(19)(-171) = 123904 + 12996 = 136900 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{136900} = 370 \]

Найдем корни:

\[ v_1 = \frac{352 + 370}{2 \cdot 19} = \frac{722}{38} = 19 \]

\[ v_2 = \frac{352 - 370}{2 \cdot 19} = \frac{-18}{38} = -\frac{9}{19} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 19