11. В четырёхугольнике ABCD ∠1 = ∠2 = ∠3. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Пусть величина каждого отмеченного угла равна \(x\). Угол 3 — внешний угол при вершине D, поэтому внутренний угол D равен \(180°-x\). Внутренний угол B равен \(x\), так как угол 2 вертикально противоположен ему.

Тогда сумма внутренних углов B и D равна \(x+(180°-x)=180°\). Следовательно, прямые AB и CD параллельны: при секущей BC внутренние односторонние углы B и C в сумме составляют 180° (эквивалентно, из суммы углов четырёхугольника следует, что угол C равен x, а углы A и C равны как внутренние накрест лежащие при секущей AC).

Поскольку угол 1 равен углу 2, внешний угол при B равен углу A. Это даёт параллельность AD и BC по равенству соответствующих углов. Значит, обе пары противоположных сторон параллельны.

Ответ: ABCD — параллелограмм.