№ 11. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) даны AD = 10, CD = 5; ∠ABD = 90°. Найти отмеченные углы при A, B, C и угол BDC.

В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = CD = 5. Поэтому sin∠ADB = AB/AD = 1/2, откуда ∠ADB = 30°, а ∠BAD = 60°.

Так как BC ∥ AD, угол между BD и BC равен углу между BD и AD: ∠CBD = ∠ADB = 30°.

При B дан прямой угол ∠ABD = 90°. Следовательно, ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 90° + 30° = 120°. Смежные внутренние углы при боковой стороне BC–CD дополняют друг друга до 180°, поэтому ∠BCD = 60°.

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, значит ∠A = ∠D = 60°. В треугольнике BCD углы при B и C равны по 60°, поэтому ∠BDC = 60°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠CBD = 30°, ∠BCD = 60°, ∠BDC = 60°.