№ 12. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) диагонали AC и BD пересекаются в O. Даны ∠BAC = 39° и ∠CBD = 31°. Найти ∠D и ∠C.

Поскольку BC ∥ AD, накрест лежащие углы ∠ACB и ∠CAD равны. Значит, ∠CAD = 39°.

В треугольнике BOC углы при B и C равны 31° и 39° соответственно, поэтому ∠BOC = 180° − 31° − 39° = 110°. Вертикальный ему угол ∠AOD тоже равен 110°.

Равнобедренная трапеция симметрична относительно перпендикуляра к основаниям; её диагонали образуют с основанием AD равные острые углы. Поэтому ∠ADB = ∠CAD = 39°. Тогда угол при D трапеции равен ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC; из симметрии ∠BDC = ∠BAC = 39°, следовательно, ∠D = 78°.

Соседние углы при боковой стороне supplementary: ∠C = 180° − 78° = 102°.

Ответ: ∠D = 78°, ∠C = 102°.