№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) даны AB = 7 и AH = 3, где BH ⟂ AD. Диагональ BD делит угол D пополам. Найти длины оснований AD и BC.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:

BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, поэтому BH = 2√10.

Так как BD — биссектриса угла D, ∠ADB = ∠BDC. Из BC ∥ AD следует ∠ADB = ∠DBC. Значит, в треугольнике BCD углы при B и D равны, поэтому BC = CD.

Трапеция равнобедренная, следовательно, отрезки у оснований равны: AH = KD = 3, где K — проекция C на AD. Так как CD = BC и высота трапеции равна BH, треугольник CKD имеет гипотенузу CD и катет CK = BH. Кроме того, из равенства боковых сторон горизонтальный сдвиг у правого края равен 3; поэтому CD = AB = 7, а BC = 7.

Для основания AD: AD = AH + HK + KD. Поскольку HK = BC = 7, получаем AD = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13, BC = 7.