1118. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Обозначим данную сторону через \(c=a\). Тогда третий угол треугольника равен \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\).

По теореме синусов: \(b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\gamma}\), \(c=\dfrac{a\sin\alpha}{\sin\gamma}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(x\) и \(y\) равна \(\dfrac{2xy\cos(\theta/2)}{x+y}\). Поэтому:

\(l_\alpha=\dfrac{2a\,c\cos(\alpha/2)}{a+c}\), \(l_\beta=\dfrac{2a\,b\cos(\beta/2)}{a+b}\),

\(l_\gamma=\dfrac{2bc\cos(\gamma/2)}{b+c}\), где \(b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\gamma}\), \(c=\dfrac{a\sin\alpha}{\sin\gamma}\).

Ответ: биссектрисы находятся подстановкой найденных сторон в указанные формулы.